- PROBABILIDAD -

*PROBABILIDAD*

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Frecuentista: Funcion de la histori de los eventos que se estan observando.

Enfoque clasico: Cuando hay la misma posibilidad de que salga el mismo resultado.

Experimento aleatorio: Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra o S.

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

S=(S,A,S,S,A,S,S,A,S,A)

Experimento de lanzar uhn dado 2 veces:

S= { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }

Cual es la probabilidd de que la suma de los dados sea cinco?

P(suma cinco) 4/36 = 1/4

P(mismo valor) 1/6

*DIAGRAMA DE ARBOL*

Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos cuando estos ocurren uno después del otro. Concretamente estamos hablando de los diagramas de árbol. Este está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente.
En el esquema que se presenta a continuación se observa que la rama principal esta constituida de evento con diferentes posibilidades como son: la siguiente rama consta de eventos distintos, por ejemplo, que se realizan después de ocurrir , así de manera sucesiva pueden ocurrir eventos después de cualquiera de ellos. Otro ejemplo es el que se muestra, ocurren después del evento ocurriendo los eventos . También observamos que cada evento forma un universo para cada evento por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendrá que ser igual a uno.

Ejemplos:

Se lanza una moneda, si sale aguila se lanzara un dado, si sale sol se lanza la moneda de nuevo.

S = { A1, A2, A3, A4, A5, A5, SA, SS}

R(s)= 8

Un proceso de fabricacion se seleccionan 3 artefactos de forma aleatoria, cada articulo se inspecciona y se clasifica "D" defectuoso y "N" sin defecto, ¿Cual seria su espacio muestral?

S = { DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

Una Caja Contiene 3 pelotas, 1 Blanca, 1 Roja y 1 Azul, 2 de ellas se sacan reemplazandolas , ¿esto Implica ? :

¿Y si 2 de ellas se sacan sin reemplazo ?

Un fabricante proporciona vehiculos equipados con diferentes opciones, cada vehiculo puede tener con o sin trasmicion automatica, con o sin aire acondicionado, 3 opciones de sonido, 4 colores exteriores, supongase que el fabricante ademas ofrece la opcion de color interior que son 4 colores rojo, negro, azul y cafe, sin embargo con exterior rojo solo se puede utilizar con color interior rojo o negro, con exterior blanco se puede utilizar con los 4 colores interiores, con exterior azul solo con solo con interior negro, rojo o azul y con exterior cafe solo con un color interior cafe. Determine el espacio muestral :

Evento: Subconjunto del espacio muestral

A={xIx es rojo y blanco}
n(a)=2

B={xIx la primera bola blanca}
n(b)=2

B={BA,BR} n(AnB)= 1

C={xIx es bola roja} = conjuntos

AUB={BR,RB,BA}n(AUB)=3
AnB={BR}

Las mediciones de tiempo redondeadas al min. mas proximo necesario para completar una reaccion quimica puede modelarse utilizando el espacio muestral "S"

S={1,2,3...?}

Sean lo eventos: E1=xl1<=<10}, e2="">Encuentre E1UE2, E1nE2, E1', E1'nE2

E1UE2={xl1<=x<118}={1......117}

E1nE2={xl4<=x<10}={4,5,6,7,8,9}>

E1+E1= S

E1'nE2={xl10<=x<118>

DIAGRAMA DE Venn*

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la matemática conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD*

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales.

Ejemplo de problema pasado:

S=(aprobaron......)

P(s)=0.004+0.16+0.16+0.64= 1

1.- P(s)=1

2.-0<=P(E)<=1

3.-Para dos eventos E1 y E2 con E1nE2=0

P(E1UE2)=P(E1)+P(E2)

P(0)=0

Si es un evento cualquiera

P(E')=1-P(E)

REGLA DE LA ADICION*

Los eventos compuestos se generan al aumentar las operaciones basicas a los conjuntos de eventos individuales. Las uniones de eventos, las intersecciones de eventos y los complementos son de interes frecuente.

La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones las operaciones basicas de los conjuntos tambien son utiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

1.-A∩B = 0
2.-P(AUB) = P(A) + P(B)
3.-P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
4.- 3 o mas eventos
5.-P(AUBUC)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) P(B∩C) + P(A∩B∩C)
6.-Si los eventos son Excluyentes
7.-P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)

PROBABILIDAD CONDICIONAL*

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(AB), y se lee «la probabilidad de A dado B.

Con lo que lo podemos plantear con la siguiente formula:

P(AB) = P (A∩B) / P (B)

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

TEOREMA DE BAYES*

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Sea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai B) viene dada por la expresión:

REGLA DE LA MULTIPLICACION*

Se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B.
Existen dos acepciones de esta regla:

1) Si los eventos de independientes: P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)
2) Si los eventos son dependientes:

Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.

P(A y B) = P(A)P(BA)

Si la posición de los dos eventos se invierte, se obtiene un valor equivalente.

P(A y B) = P(B y A ) = P(B)P(AB)

EJEMPLO

1) Si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado una “cara” es : (1/2) x (1/2) = (1/4) .

TEORIA DE CONJUNTOS*

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.

UNION: La Union de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto cuyos elementos son los que pertenecen a A, a B o a ambos. El simbolo para expresar la union de estos conjuntos es (A U B) y se lee "A union B"

INTERSECCION: La Interseccion de dos conjuntos A y B es el nuevo conjunto cuyos elementos son aquellos que estan a la vez en A y en B, es decir, los elementos comunes. El simbolos para expresar la interseccion es (A ∩ B) y se lee "A interseccion B"

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos no pertenecen a A. este conjunto se denota como (A') y se lee "A complemento"

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
EJEMPLOS:

1.-Se analizan muestras de policarbonato y se mide su resistencia a las rayaduras y alos golpes. Sea A el evento la muestra tiene una alata resistencia a los golpes y B el evento tiene una alta resistencia a las rayaduras. responde con un duagrama de Venn este espacio muestral los eventos A Y B indique el num de resultado en cada region del diagrama.

Determina:

n(AnB)

n(A')

n(AUB)

Represente con diagrama de Venn este espacio muestras y los eventos A y B; indique el numero de resultados en cada uno.A = Alta resistencia a los golpes n(A)= 40B = Alta resistencia a las rayaduras n(B) = 40

2.-Se clasifican muestras de una pieza fundida de aluminio,con el acabado de la superficie en micro pulgadas y con las mediciones de longuitud, se clasifica de acuerdo a su longitud y acabado en bueno o excelente. A continuacion se resume los resultados obtenidos en 100 muestras.

Sea A el evento donde la muestra tiene un acabado excelente. Sea B el evento donde la muestra tiene una longitud excelente. Determine el numero de muestras en n(A'∩B), n(B'), n(A U B)

3.-inspeccion visual de las obleas de un proceso de fabricacion de semiconductores, arrojo los resultados de la siguiente tabla :

a) Si se elige una oblea en proceso, cual es la prob. de que este contaminada ?
b) ¿Cual es la prob. de que la oblea tenga 3 o mas contaminantes ?
c) ¿Cual es la prob. de que la oblea tenga 0 o mas de 3 contaminantes ?
A) P(oblea contaminada) = 1 - .40 = .60
B) P (3 o mas) = .10 + .05 + .10 = .25
C) P(0 o mas de 3 ) = .40 + .05 + .10 = .55

4.-Un fabricante necesita que los diseños de un nuevo producto sean evaluados cliente a potencia con la finalidad de terner los comentarios de estos en etapas muy tempranas del ciclo de diseño. Con base en datos historicos, si dos clientes evaluan el producto y deciden de manera independiente, que les gusto, entonces el espacio muestral y las prob. pueden modelarse de la sig. manera :

a) ¿Cual es la probabilidad de que ambos clientes aprueben el producto?
b) ¿Cual es la prob. de que almenos un cliente apruebe el producto ?
c) ¿Cual es la prob. de que almenos un cliente pida que se modifique el producto?
d) ¿Cual es la prob. de que el segundo cliente apruebe el producto?
* a) P(ambos clientes) = .04
* b) P(almenos un cliente) = .04 + .16 + .16 = .36
* c) P(almenos uno modifique) = .16 + .16 + .64 = .96
* d) P(2do cliente apruebe) = .04 + .16 = .20

5.-El siguiente ejemplo de la siguiente tabla presenta la historia de 940 obleas de un proceso de fabricacion de semiconductores .

A = { altos niveles contaminacion }

b = { la oblea esta en el centro del instrumento }

A) como interpreta (AUB) y (A∩B).

B) Calcular la probabilidad de cada evento.

- A) P(AUB) = n(a) + n(b) - (A∩B) = 358 + 314 - 246 = 426
- B) P (AUB) = 426/940 = .45

P (A∩B) = 246/940 = .26
P(a) = 358/940 = .38
P(b) = 314/940 = .33