UNIDAD III: FUNCIONES DE PROBABILIDAD

FUNCIONES DE PROBABILIDAD

la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es una función tal que, al sustituir x por un valor de la variable, el valor que toma la función es la probabilidad de que la variable X asuma el valor x. Habitualmente, la función de probabilidad se representa como f(x).

f(x) = P(X = x)

Condiciones para que sea una funcion de probabilidad:

1.- f(x) = P(X=x)

2.- f(x) ≥ 0

3.- ∑x f(x) = 1

Distribucion de probabilidad o distribucion de una variable aleatoriaEs una descripcion del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.

Variable discreta: Aquella que se define sobre un espacio muestral numerable, finito o infinito. Espacio numerable es aquel cuyos elementos se pueden ordenar, asignándoles a cada uno un número de la serie de los números naturales (del 1 al n ó del 1 al I). Todas las variables con un número finito de valores y todas las que tomen valores en números enteros o racionales (fraccionarios), son variables discretas.

Variable continua: Es aquella que se define sobre un espacio asimilable al conjunto de los números reales, es decir, un espacio no numerable (o un espacio infinito de tipo C o infinito dos).

DISTRIBUCION BINOMIAL

Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0 £ p £ 1

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.

Parámetros de la Distribución Binomial

Función de Distribución Binomial

siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.

Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi. El cálculo de las F(x) = p( X £x) puede resultar laborioso, por ello se han construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.

Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

Condicones:

1.- Los ensayos son independientes

2.- Cada ensayo, tiene solo dos resultados posibles denominados exito y fracaso

3.-La probabilidad de exito de cada ensayo, denotada por P permanece constante y fracaso con q

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la fórmula

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación típica y la representamos así

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

1.-Puede tomar cualquier valor (- ¥, + ¥)
2.-Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media m
3.-Conforme nos separamos de ese valor m , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).
4.-Conforme nos separamos de ese valor m , la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de un parámetro s , que es la desviación típica.

F(x) es el área sombreada de esta gráfica

TIPIFICACIÓN

Por tanto su función de densidad es

EJEMPLOS:

VALOR EPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.
Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

Definición
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de masa p(xi) la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :

O

La esperanza también se suele simbolizar con
Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más importantes son los momentos centrados .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.
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